\chapter{1924年一维Ising模型的精确解与相变分析}
	
	\begin{abstract}
		本文详细推导了由恩斯特·伊辛（Ernst Ising）于1924年提出的一维Ising模型的精确解。通过转移矩阵方法，我们证明了该模型在有限温度下不存在自发磁化现象，并讨论了伊辛关于高维推广的错误推测。本研究为理解统计力学中的相变现象提供了重要理论基础。
		\par\textbf{关键词：} Ising模型，统计力学，相变，一维系统
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	1920年，威廉·楞次（Wilhelm Lenz）首次提出描述铁磁性的简化模型。其学生恩斯特·伊辛于1924年精确求解了一维情形，发现系统在有限温度下不表现相变。这一结果导致他错误推测高维情形同样不存在相变——这一论断直至1944年昂萨格（Onsager）给出二维精确解才被推翻。
	
	\section{模型定义}
	一维Ising模型由$N$个自旋$\sigma_i \in \{-1,+1\}$组成，其哈密顿量为：
	\begin{equation}
		H = -J \sum_{i=1}^N \sigma_i \sigma_{i+1} - h \sum_{i=1}^N \sigma_i
	\end{equation}
	其中$J>0$为铁磁耦合常数，$h$为外磁场，采用周期性边界条件$\sigma_{N+1}=\sigma_1$。
	
	\section{配分函数求解}
	配分函数$Z$的表达式为：
	\begin{equation}
		Z = \sum_{\{\sigma\}} e^{-\beta H} = \sum_{\sigma_1=\pm1}\cdots\sum_{\sigma_N=\pm1} \prod_{i=1}^N e^{\beta J \sigma_i \sigma_{i+1} + \beta h \sigma_i}
	\end{equation}
	
	引入转移矩阵$T$，其矩阵元为：
	\begin{equation}
		T_{\sigma,\sigma'} = \exp\left[\beta J \sigma\sigma' + \frac{\beta h}{2}(\sigma + \sigma')\right]
	\end{equation}
	
	配分函数可表示为矩阵迹：
	\begin{equation}
		Z = \text{Tr}(T^N) = \lambda_+^N + \lambda_-^N
	\end{equation}
	其中$\lambda_{\pm}$为$T$的本征值：
	\begin{equation}
		\lambda_{\pm} = e^{\beta J} \cosh(\beta h) \pm \sqrt{e^{2\beta J}\sinh^2(\beta h) + e^{-2\beta J}}
	\end{equation}
	
	\section{热力学量计算}
	在热力学极限$N\to\infty$下，仅最大本征值$\lambda_+$贡献自由能密度：
	\begin{equation}
		f = -\lim_{N\to\infty}\frac{1}{\beta N} \ln Z = -\frac{1}{\beta} \ln \lambda_+
	\end{equation}
	
	零场磁化强度$m$为：
	\begin{equation}
		m = -\left.\frac{\partial f}{\partial h}\right|_{h=0} = \frac{\sinh(\beta h)}{\sqrt{\sinh^2(\beta h) + e^{-4\beta J}}}} \xrightarrow{h\to0} 0
\end{equation}

\section{关联函数分析}
两自旋关联函数满足：
\begin{equation}
	\langle \sigma_i \sigma_j \rangle \sim e^{-|i-j|/\xi}, \quad \xi = -\frac{1}{\ln(\tanh(\beta J))}
\end{equation}
其中$\xi$为关联长度，有限温度下始终有限。

\section{相变讨论}
\begin{itemize}
	\item 零温极限$\beta\to\infty$：$\xi\to\infty$，系统呈现长程有序
	\item 有限温度$\beta<\infty$：$\xi$有限，无长程序
	\item 临界温度$T_c$：一维情形$T_c=0$，仅在绝对零度时发生相变
\end{itemize}

\section{伊辛的错误推测}
基于一维结果，伊辛得出两个错误结论：
\begin{enumerate}
	\item 高维Ising模型同样不存在相变
	\item 铁磁性需要长程相互作用
\end{enumerate}
这些错误源于未能认识到维度对涨落的重要影响。

\section{结论}
一维Ising模型精确解表明：
\begin{equation}
	\boxed{\text{一维短程相互作用系统在有限温度下不存在自发磁化}}
\end{equation}
这一结果为理解维度在相变中的作用提供了基准案例，尽管其高维推广的论断被证明不成立。

\begin{thebibliography}{9}
	\bibitem{ising1924} 
	Ising, E. (1924). 
	\textit{Beitrag zur Theorie des Ferromagnetismus}. 
	Zeitschrift für Physik, 31(1), 253-258.
	
	\bibitem{peierls1936}
	Peierls, R. (1936).
	\textit{On Ising's Model of Ferromagnetism}.
	Proc. Camb. Phil. Soc., 32, 477-481.
	
	\bibitem{onsager1944}
	Onsager, L. (1944).
	\textit{Crystal Statistics. I. A Two-Dimensional Model with an Order-Disorder Transition}.
	Phys. Rev., 65(3-4), 117-149.
\end{thebibliography}
